Ejemplo de ejercicios con respuesta de las guías

Estos son tres ejercicios de una sección importante de las guías que es la operación algebraica con fracciones. Sé que a muchos les aterran los quebrados pero no hay forma de no estudiarlos así que he seleccionado material bastante claro con buenas explicaciones. Aquí unos ejemplos:

7. Calcula la suma:

 Respuesta: 

Solución:
El m.c.m. de los denominadores es ‘ab’. Lo dividimos por cada denominador y el cociente lo multiplicamos por su correspondiente numerador:

Vemos que el numerador es el cuadrado de la diferencia de dos números:

8.  Calcula:

 Respuesta: 

Solución:
El denominador para los dos sumandos será (x – y).
Al numerador 1 le multiplico por (x – y). Al segundo numerador le multiplico por 1 porque  (x – y) entre sí mismo vale 1:

Solución:

Reduzco términos semejantes en el numerador:  

9. Calcula:

 Respuesta: 

Solución:
Igual al anterior, excepto que en lugar de sumar, ahora se trata de una diferencia y debes tener mucho cuidado con el signo menos delante de una fracción. El signo menos delante de una fracción le afecta solamente al numerador, y al sumar o restar con otros valores, se cambia de signo a cada término:

El denominador común será (x – y).
Le multiplico por 1 y queda  x – y. Luego tienes el signo menos, que lo escribimos. Al segundo numerador lo encerramos entre paréntesis y le multiplicamos por 1 porque (x – y) entre (x – y) obtenemos 1.
Ahora quito el paréntesis del numerador:

Recuerda que un signo menos delante de un paréntesis, al quitarlo, cada término que había dentro del paréntesis cambia de signo:

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Pregunta de ejemplo: Matemáticas UNAM y UNAM (ciencias sociales)

Aquí les muestro una pregunta que es típica en los exámenes de admisión. Este tipo de preguntas con edades son de los que dan algo de problema.

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De entre los problemas con sistemas de ecuaciones están unos que particularmente creo que pueden resultar confusos para el planteamiento algebraico. Claro está que si ustedes saben álgebra con soltura los podrán resolver fácilmente pero yo recomiendo siempre hacer este tipo de problemas por tanteo, de entrada porque siempre darán con la respuesta correcta y en segunda es rápida su resolución. Veamos:

Pregunta. Ernestina menciona que dentro de tres años tendrá el doble de edad de su hermano Javier. Ella recuerda que hace dos años, la suma de sus edades era 20 años. ¿Cuáles son las edades actuales de Ernestina y Javier?

Si tuviésemos las respuestas este problema se vuelve de simple sustitución y no nos debería llevar más de medio minuto encontrar la solución. Pero me interesa que vean cómo se resuelve por medio del tanteo. En este caso siempre construyo una pequeña tabla que hará nuestro trabajo más fácil. Aquí lo hago por pasos por lo que se ven varias tablitas.

Antes de hacer la tabla conviene que entendamos las condiciones que deben cumplir las edades que buscamos.

Condición 1. Hace 2 años la suma de ambas edades era 20 años.

Condición 2. Dentro de 3 años Ernestina tendrá el doble de edad de su hermano.

Dicho lo anterior comenzamos a tantear poniendo edades arbitrarias (pero razonables) a Ernestina y Javier. Comenzaremos guiándonos con la condición 1.

	Edad Hace 2 años	Edad HOY RESPUESTA	Edad dentro de tres años
Ernestina	12	14	17
Javier	8	10	13
	Cumple condición 1		No cumple condición 2

Dentro de tres años Ernestina no tendrá el doble de edad, le harán falta años para cumplir la condición 2, lo que nos sugiere que Ernestina necesita ser mayor para que ambas condiciones se cumplan.

	Edad Hace 2 años	Edad HOY RESPUESTA	Edad dentro de tres años
Ernestina	13	15	18
Javier	7	9	12
	Cumple condición 1		No cumple condición 22

Ya nos acercamos más pero 18 aún está lejos de ser el doble de 12 por lo que seguiremos aumentando la Edad de Ernestina.

	Edad Hace 2 años	Edad HOY RESPUESTA	Edad dentro de tres años
Ernestina	14	16	19
Javier	6	8	11
	Cumple condición 1		No cumple condición 2

Ya estamos muy cerca pues 19 ya es casi el doble de 11. Intentemos otro.

	Edad Hace 2 años	Edad HOY	Edad dentro de tres años
Ernestina	15	17	20
Javier	5	7	10
	Cumple condición 1		Cumple condición 2

Hemos dado con la respuesta:

La edad actual de Ernestina son 17 años y la edad actual de Javier son 7 años.

Aquí lo hicimos por pasos y por eso parece tardado, pero si ustedes pueden ver todo puede ser echo rápidamente en una misma tabla y mejor aún será el hecho de que tendrán ustedes las respuestas ya en su examen, sólo habrá que saber elegir el planteamiento y sustituir.

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Guía resuelta del examen de admisión a la UNAM del área de Ciencias Sociales 05

Me voy a permitir saltarme preguntas para llegar a la parte matemática que es a la que muchos le temen, aunque la verdad la veo bastante light. 

Esta guía de ciencias sociales para la unam presente un examen "diferente" al que yo presenté para entrar a la carrera de Derecho. La parte matemática la veo más fácil aunque viene más contenido de química y física, lo que yo esperé que no fuera así puesto que es una guía para ciencias sociales. Supongo que en todas las guías vienen los mismos temas sólo que más cargados unos que otros pero si me presentaran las preguntas de la guía y nada más, no sabría para qué área es.

Bueno, a nuestros problemas. 

41. En un contenedor de ferrocarril se cargan 120 metros cúbicos de maíz. Si un metro cúbico de maíz pesa 5/6 toneladas, ¿cuál es el peso de la carga en el contenedor?

Este tipo de preguntas meten en problemas a muchos, de entrada por la forma en que está expresado puesto que el mero tonito matemático ya adormece a más de uno y en segundo lugar por los quebrados que parece que gente puede pasar toda su vida sin entenderlos desde primaria hasta doctorado.

Veamos, 120 metros cúbicos están cargados en un ferrocarril y dice que cada metro cúbico pesa 5/6 de tonelada, pues según yo es una vil y sencilla multiplicación:

120/1 X  5/6  =  600/6 = 100 toneladas.

Como vieron, este ejercicio estaba regalado. De todas formas explico para el que se perdió:

El 120 le puse el 1 como denominador para poder multiplicar por 5/6, es una multiplicación de fracciones común y corriente y se multiplica numerador por numerador, 120 X 5, y denominador por denominador, 1 X 6, por lo que el resultado es 600/6 (seiscientos sextos o lo que es lo mismo 600 entre seis) y pues el resultado es 100.

42. Al simplificar la expresión  resulta:

Se trata de una sencilla operación muy útil en muchas circunstancias.
El valor de una raíz no varía si multiplicas o divides por un mismo número al índice y al exponente del radicando.

Ejemplo: Respuesta: 

Para el caso de 

Dividimos los exponentes entre tres y al 8 le sacamos su raíz cúbica que es 2 (2x2x2=8)

El resultado será 

Así de fácil es, no hay que imaginar más nada ni complicarse porque ese es el secreto de la matemática, que es el mismo que el del soccer, hay que jugar fácil.

Les dejo link con ejemplos de esto último.

http://www.aulafacil.com/matematicas-operaciones-fracciones-algebraicas/curso/Lecc-9.htm

Guía para resolver el examen de selección de la UAM (CSH) parte 8

Comentarios a las secciones de Razonamiento Verbal y Razonamiento Matemático de la guía del examen de admisión de la UAM para la división de Ciencias Sociales y Humanidades.

Primeramente he de decir que estas partes de la guía, según mi criterio, son las más fáciles del examen, sólo se necesitan conocimientos básicos, un poco de imaginación y aprender los pocos tips que aquí te vamos mostrando.

Con respecto a la sección de Razonamiento Verbal, como ya he comentado en otra entrada, será difícil para los que tengan mala ortografía y gramática (casi todos) porque las preguntas son concretas, es sinónimo sí o no, se escribe con V o con B, y punto. Estas habilidades son las que menos van a poder mejorar en cualquiera curso de preparación y es por eso que recomiendo resolver  un libro con ejercicios ortográficos y aprender leyes básicas de ortografía y gramática. El problema es que la gente tiende a menospreciar estos conocimientos a lo largo de toda su formación y es un error enorme,  de hecho las secciones siguientes dependen mucho de los conocimientos necesarios para resolver esta, luego explicaré por qué.

Ahora bien, la sección de Razonamiento Matemático es para muchos la parte más difícil o al menos eso creen. De hecho cuando terminan esta sección se sienten aliviados aunque en las secciones siguientes comentan proporcionalmente más errores. Nosotros hemos explicado cómo resolver los ejercicios más difíciles de esa sección y otros no tan difíciles y créeme que dos o tres aciertos ganados pueden llegar a ser la diferencia entre estar dentro o fuera. Personalmente creo que la sección de Razonamiento Matemático es la más fácil de todas pues los ejercicios son muy sencillos, aunque puede ser la sección más tardada porque hay que hacer operaciones matemáticas y eso nos llevará tiempo. Los conocimientos que se necesitan para hacer las operaciones en esta sección sí pueden ser desarrollados o reforzados en un curso de preparación para el examen pero la manera de atacar los problemas es algo que sólo se desarrollará practicando una y otra vez. 

Las secciones suman 50 preguntas y yo tuve todas correctas lo que seguramente no pasará en las siguientes. Por eso enfatizo la importancia de esta parte de la guía porque empezar con 50 aciertos es medio boleto para entrar a la universidad. Esta parte de la guía (primeras dos secciones) será las que nos llevará más tiempo si es que nos decidimos a resolverla y no tratar de adivinar. 

Buena suerte.

Guía para resolver el examen de selección de la UAM (CSH) parte 6

En esta entrada casi terminamos con la sección de Razonamiento Matemático de la Guía de estudio para el examen de selección de la UAM de la División de Ciencias Sociales y Humanidades. Vamos directo al problema.

49. Expresa 85 como la suma de dos sumandos tales que el triple del menor equivalga al doble del mayor, ¿qué ecuación permite resolver el problema?

A) 3x-2 = 2(85-x)

B) 3x = 2(85-x)

C) 3x = 2(85+x)

D) 3-x =  2(85-x)

E) 2(3x) = 2(85-x)

Ya había yo resuelto este ejercicio pero para serles sinceros no recuerdo que hice. Tendré que empezar de nuevo.

1. Trataremos tentativamente de encontrar el valor de x, y por el tipo de ecuaciones supongo que x es el número menor. ¿Qué nos dice el problema? Que hay dos números que sumados dan 85, y que el menor al triple es igual al mayor al doble. 

Vamos con el tanteo

Número menor	20	Al triple= 60
Número mayor	30	Al doble= 60
Suma	50

En el ejemplo anterior coincide que el triple del menor es igual a doble del mayor, pero la suma de ambos (20 + 30) no da 85, sino 50. Es necesario buscar números mayores. 

Número menor	30	Al triple= 90
Número mayor	45	Al doble= 90
Suma	75

En este ejemplo la suma nos da 75, que aún es bajo, pero el triple del menor sí es igual al doble del mayor. Es necesario subir un poco más.

Número menor	34	Al triple= 102
Número mayor	51	Al doble= 102
Suma	85

Hemos encontrado los sumandos que dan 85, en este caso 34 y 51. Además 34 al triple da 102 y 51 al doble da 102, por lo que queda satisfecha la segunda condición.

De lo anterior deducimos que en las ecuaciones x = 34

2. Debemos sustituir el 34 por la x en las ecuaciones y ver en cual se cumple la igualdad.

A) 3x-2 = 2(85-x)

    3(34)–2 = 2(85-34)

    102–2 = 2(51)

     100 = 102   100 NO ES IGUAL A 102 POR LO TANTO NO SE VERIFICA LA IGUALDAD

B) 3x = 2(85-x)

    3(34) = 2(85-34)

    102 = 2(51)

    102 =102     

HEMOS ENCONTRADO EL INCISO CORRECTO, LA IGUALDAD SE VERIFICA

No es necesario seguir adelante pero hacemos otro inciso para asegurarnos

C) 3x = 2(85+x)

    3(34)=2(85+34)

    102=2(119)

    102=238  DE NUEVO NO SE RESPETA LA IGUALDAD, 102 NO ES IGUAL A 238

Este a mi parecer es de los ejercicios más difíciles de la sección porque instintivamente pensaremos que hay un método rápido o que si nos fijamos bien a pura vista entenderemos las ecuaciones. Si pudiste encontrar la respuesta correcta por un método más directo te felicito pero si no tal vez sea que ni lo intentes y lo hagas como lo hice yo, por tanteo, que no es tan difícil. Como ven el álgebra que se necesitó es mínima, bastó con sustituir y saber hacer operaciones aritméticas básicas.

En la siguiente entrada terminaremos con la sección de razonamiento matemático, que para muchos es el peor dolor de cabeza, aunque como yo lo veo otras secciones requerirán de mucho más estudio. 

Guía para resolver el examen de selección de la UAM (CSH) parte 4

En la sección de razonamiento matemático hay al final, unos reactivos que pueden parecer particularmente difíciles si no los sabemos atacar. Ya saben, de esos que la mayoría acaba por querer adivinar. Se trata de las preguntas 47, 48, 49 y 50. Hay ecuaciones algebraicas y eso ya es un poco amenazante, pero no por ser cuestiones algebraicas habremos de atacarlas con álgebra necesariamente.

Vamos entrando en materia con la pregunta 47:

47. Un hacendado ha comprado el doble número de gallos que de bueyes. Por cada gallo pagó $70 y por cada buey $85 y el importe total de la compra fue de $2700. Si x es la cantidad de bueyes, ¿qué ecuación permite calcularla?

A) 85x+70x=2700

B) 170x + 140x = 2700

C) 85x +140x = 2700

D) 85x + 35x =2700

E) 170x + 70y = 2700

Este tipo de problemas a cualquiera molestan, no son fáciles de apreciar ni de entender. Yo particularmente evito tratar de adivinar la respuesta y menos intentar el acercamiento algebraico porque es para mí una pérdida de tiempo y prefiero hacerlo por medio del tanteo, quiero decir, pienso una solución empírica y generalmente lo hago rápido y en el examen no hay qué hacer como en las tareas, el famoso procedimiento, sólo hay que elegir la respuesta correcta. Ya con la respuesta empírica sólo sustituyo y elijo la respuesta correcta. 

¿Cómo empezar?

1. Nos vamos a imaginar la escena como si fuera real. Podemos empezar diciendo que el  hacendado compró 20 gallos y 10 bueyes, son números inventados pero útiles, los multiplicamos por lo que costaron y nos daría que el hacendado gastó $1400 en gallos (20 x $70) y $850 en bueyes ($85 x 10), lo que nos daría un total de $2250 que es menos de los $2700 que el hacendado gastó en el problema, pero que es una cantidad que está cerca de la real.

2. En caso de no haber atinado a la primera vamos a necesitar subir un poco, en este caso, el número de gallos y de bueyes. Podemos pensar en que el hacendado compró 25 gallos, pero ya no nos daría exacto el número de bueyes, entonces mejor pensemos en que compró 24 gallos y 12 bueyes y sustituyamos valores. Entonces, 24 gallos a $70 son $1680 y 12 bueyes a $85 son $1020, y la suma de estas cantidades nos da la que buscamos, o sea $2700. ¡Hemos dado con la solución!

3. Viene la parte fácil, hay qué sustituir y listo. Dice el problema que x es la cantidad de bueyes y nosotros ya la sabemos, entonces sólo buscamos el inciso con la ecuación que al sustituir x por el número 12 nos de $2700.

3. El inciso con la ecuación correcta es el C, Veamos por qué:

C) 85x +140x = 2700

 =85(12) + 140(12)= ------------------> Nota: 140(12) es lo mismo que 70(24), lo que ya sabemos.

  =1020 + 1680 = 2700

Y el problema ha sido resuelto de manera rápida y sin usar más que mínima noción de álgebra a la hora de sustituir. 

Un acierto más a nuestro conteo.

Guía para resolver el examen de selección de la UAM (CSH) parte 2

Continuando con la guía de estudio para el examen de selección de la UAM para la división de Ciencias Sociales y Humanidades, analizaremos desde donde nos quedamos la entrada pasada que será la sección de Razonamiento Matemático que comprende desde la pregunta 26 a la 50.

Razonamiento Matemático

Los reactivos 26 al 30 están regalados, son sucesiones numéricas muy fáciles, así es que no hay por qué preocuparse, 31 al 36 lo mismo, aunque no son sucesiones pero creo que hasta están más fáciles aún. En la 37 empiezan los problemas ya que muchos no saben manejar fracciones o los famosos quebrados. Esto no tiene solución fácil, hay que aprender a manejar los quebrados y más aún, aunque sepas manejar los quebrados hay que saber relacionarlos con problemas de la vida real y ahí está el asunto. 

El reactivo 37 dice "Una botella tiene una capacidad total de 9/5 litros y contiene aceite en 5/9 de su capacidad. ¿Cuánto aceite, en litros, hay en la botella?"

Hay varias formas de atacar este tipo de problemas y aquí les muestro una:

Nos enfocamos primero en los quebrados

9/5 = 5/5  + 4/5      (y debes saber que 5/5 = 1), o sea

9/5 = 1 4/5 de litro y 4/5 de litro son 800 mililitros (o sea casi un litro más).

Tenemos entonces que la botella tiene una capacidad de 1.8 litros. ¡Pues ya está! Resulta que la segunda parte del problema dice que la botella contiene aceite a 5/9 de su capacidad, lo que quiere decir que hay que dividir la capacidad de la botella entre 9 para saber cuántos mililitros serían 1/9 y luego multiplicar por 5 para saber cuántos mililitros serían 5/9. Entonces:

1.8 litros entre 9 = 0.2 litros, 

o lo que es lo mismo 1800 mililitros entre 9 = 200 mililitros.

Ahora bien, si 1/9 (un noveno) de la capacidad de la botella (que es 1.8 litros) es igual a 200 mililitros (o 0.2 litros) y nos dice que la botella está llena a 5/9 (cinco novenos) de su capacidad, entonces 0.2 litros multiplicados por 5 y ya lo tenemos. ¿Cuánto aceite, en litros, hay en la botella? 

La respuesta es 1 litro, que sería el inciso B.

No olvides que debes pensar en litros para que si lo estás haciendo en mililitros hagas la conversión.

Como pueden observar, la respuesta es "sencilla" pero nos obliga a hacer una serie de pasos lógicos para darle solución.

En la siguiente entrada le daremos respuesta a otro reactivo problemático para cuando nos encontremos uno parecido en el examen real no entremos en pánico y sepamos qué hacer.